数列求和方法

数列求和方法篇1

　　1、1.公式法：使用已知求和公式求和的方法。2.列项相消法：把数列的通项拆分为两项之差，使之在求和时产生前后相互抵消的项的求和方法。3.错位相减法：适用于{等差*等比}这类数列。4.分解法：分解为基本数列求和。5.分组法：分为若干组整体求和。6.倒序相加法：把求和式倒序后两式相加。7.特殊数列求和。

　　2、项数=（末项-首项）÷公差+1.

　　（来源：文章屋网 ）

数列求和方法篇2

　　关键词：高中；数学；数列；解题方法

　　中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：1673-9132（2016）22-0030-02

　　DOI：10.16657/ki。issn1673-9132.2016.22.017

　　一、数列的介绍

　　（一）数列的概念

　　数列是以整数集（或他的有限子集）为定义域的函数，是一列有序的数，其中的每个数都称为这个数列的项，第n位的数是这个数列的第n项，通常用an表示。其一般形式可写为a1，a2，…，an，an+1，…，简记为{an}。

　　（二）数列的重要性

　　学习数列，可以培养学生的数学思维能力，强化学生观察、分析、归纳、推理、运算、应用等多种能力的培养。数列还可与函数、不等式、立体几何、解析几何等多种数学知识相联系，具有较强的综合性，使学习数列的同时，增强学生的数学综合能力的培养。

　　二、解题方法浅析

　　（一）定义法

　　例：有如下三个结论：①数列{an}是等比数列，则{an}是一个关于n的指数函数；②bn是n的一次函数的充要条件是数列{bn}是等差数列；③数列{bn}是等差数列的充要条件是数列{bn}的前n项和Sn是二次函数。其中叙述正确的个数为（）

　　A 。 0 B。 1 C。 2 D。 3

　　解析：对于①，我们根据等比数列的定义可知，等比数列{an}的通项公式为an=a1qn-1，a1qn-1不是关于n的指数函数。对于②和③，我们根据等差数列的定义可知，等比数列{bn}的通项公式为bn =b1+（n-1）d=dn+（b1-d），其前n 项和Sn=nb1+n（n-1）d/2=dn2/2+（b1-d/2）n；当d=0时，bn= b1，bn不是n的一次函数，Sn=nb1，Sn不是二次函数。因此本次选择A。

　　（二）画图法

　　画图法是指根据题目给出的已知条件，通过画图的方法找出不同条件之间的关系，进而了解问题的关键所在，解答数列问题。

　　例：等差数列{an}中，am=n，an=m，且d≠0，m≠n，则am+n是多少？

　　解析：

　　通过{an}是等差数列且d≠0可知an是关于n的一次函数，则如上图所示，坐标（n，m），（m，n），（m+n，am+n）三点共线，所以利用直线处处斜率相等可得（n-m）/（m-n）=（am+n Cn）/[（m+n）-m]，可解得am+n=0.

　　（三）公式法

　　公式法是指运用数列中等差、等比数列的相关公式解决问题的方法。

　　例：已知各项均为正数的数列{an}前n项和Sn满足6Sn=（an+1）（an+2）， S1>1，n∈N*，求{an}的通项公式。

　　解析：当n=1时，a1=S1=（a1+1）（a1+2）/6，且a1=S1>1，解得a1=1（舍）或2，所以a1=2.由公式可知an+1=Sn+1 - Sn=（an+1+1）（an+1+2）/6 -（an+1）（an+2）/6，整理得（an-1- an-3）（ an+1+ an）=0，又an>0，解得an+1- an=3.因此，可得知数列{an}是以2为首项以3为公差的递增等差数列，通项公式an=2+3（n-1）=3n-1.

　　（四）函数思想求解

　　数列是特殊的函数，因此通过函数的思想对数列问题进行求解是有效方法之一。

　　例1：已知f（x）=a・bx的图像经过A（4，1/4）和B（5，1）两点。①求f（x）的解析式；②已知an=log2f（n），n∈N*，数列{an}的前n项和为Sn，解不等式an・Sn≤0.

　　解析：对于①，由题知a・b4=1/4，a・b5=1，解得a=1/1024，b=4，因此函数解析式f（x）= 4x/1024.对于②，由题知an= log2（4n/1024）= log24n- log21024=2n-10，则数列{an}是以-8为首项以2为公差的等差数列，an=2n-10，Sn=n（-8+2n-10）/2= （n-9）n，所以由an・Sn≤0可得（2n-10）（n-9）n≤0，解得5≤n≤9，又n∈N*，所以n=5，6，7，8，9.

　　例2：已知数列{an}递增， an=n2+λn，n∈N*，求λ。

　　解析：由数列{an}递增知an+1-an>0，即[（n+1）2+λ（n+1）]-[n2+λn]=2n+1+λ>0恒成立，因此λ>-1-2n恒成立（n∈N*）。设f（n）= -1-2n，则需求出f（n）的最大值，由上面可知f（n）最大值为f（1）=3（n∈N*），所以λ的取值范围是λ>3.

　　（五）方程求解法

　　方程求解法是指在解答数列问题时，根据等差、等比数列的相关公式，构造出方程组，通过求解方程组解答数列问题的方法。

　　例：等差数列{an}的前n 项和是Sn，S10=30，S15=195，求S20.

　　解析：解答此题的关键在于求出其通项公式，下面有两种解答方法，均为方程思想求解法。

　　法1：设数列的前n项和Sn=kn2+tn，由题得方程组S10=100k+10t=30，S15=225k+15t=195，解得k=2，t=-17，所以Sn=2n2-17n。代入n=20得S20=460.

　　法2：设等差数列{an}公差为d，首项为a1，由等差数列前n项和公式得方程组S10=10a1+10（10-1）d/2=30，S15=15a1+15（15-1）d/2=195，解得a1=-15，d=4，所以Sn=-15n + 4n（n-1） /2=2n2-17n。将n=20代入解得S20=460.

　　（六）构造数列法

　　构造数列是解决数列问题的重要方法之一，它包括构造等差数列、构造等比数列等多种方法。

　　1.构造成差数列

　　例：已知数列{an}满足an=2an-1+2n-1，n≥2且n∈N*，a4=81.

　　（1）求a1、a2、a3；

　　（2）是否存在实数λ使得数列为等差数列

　　若存在求出λ和an的值，若不存在说明理由。

　　解析：（1）已知a4=81，将n=4代入an=2an-1+2n-1中得a3=33，再将n=3代入an=2an-1+2n-1中得a2=13，再将n=2代入得出a1=5.

　　（2）设存在实数λ使

　　为等差数列，则-=（an-2 an-1-λ）/2n=（2n-1-λ）/2n=1-（λ+1）/2n，因此常数λ=-1，可求得等差数列

　　的首项（a1-1）/2=2，公差d=1.因此λ=-1，=n+1，an=（n+1）2n+1.

　　2.构造等比数列

　　例：现存在数列{an}，其首项a1=2，an+1=3an+2，n∈N*，求数列{an}的通项公式。

　　解析：此数列{an}既非等差数列又非等比数列，根据题我们可自行构造等比数列，利用此等比数列进行求解。设数列{an+k}是以an的系数3为公比的等比数列，即an+1+k=3（an+k），整理得an+1=3an+2k，又an+1=3an+2，解得k=1，即{an+1}是以an+1=3为首项，以3为公比的等比数列，an+1=3・3n-1=3n，所以an=3n-1.

　　（七）分类讨论法

　　在数列解题过程中，有些复杂的问题是无法直接一次性解答的，这时就需要化整为零将问题进行分类讨论。

　　例：已知数列{an}的前n项和Sn= -n2+5n，求{|an|}的前n项和Tn的表达式。

　　解析：已知Sn= -n2+5n，则当n=1时，a1= S1=4；当n≥2时，an=Sn -Sn-1= （-n2+5n）-[-（n-1）2+5（n-1）]=-2n+6.因此，当n≤3时an≥0，|an|= an；当n≥4时，an

　　所以，当1≤n≤3时，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|= a1+a2+…+an =Sn= -n2+5n；当n≥4时，Tn=|a1|+|a2|+|a3|…+|an|= a1+a2+ a3- a4-…-an = -Sn+2S3 =-Sn+12= n2-5n+12.因此Tn= -n2+5n，（1≤n≤3）

　　n2-5n+12，（n≥4） 。

　　（八）递推法

　　递推法是指根据问题中所提供的递推关系以探求、构造等方法解决数列问题的方法。

　　例：Sn是数列{an}的前n项和，对于任意自然数n，都有2 Sn=n（a1+an），试证明数列{an}为等差数列。

　　解析：要证明数列{an}为等差数列，我们先要了解等差数列的定义，等差数列是指从第二项起，每一项与它前一项的差都为同一个常数的数列，通项公式为an= a1+（n-1）・d。因此可通过已知条件进行递推，求得结果。首先，我们将Sn转化为an：当n≥2时，an=Sn-Sn-1= n（a1+an）/2- （n-1）（a1+an-1）/2=[n（an-an-1）+ a1+an-1]/2，整理得①a1+ （n-2）an-（n-1）an-1=0，同理知②a1+ （n-1）an+1- nan=0.由②-①得：（n-1）an+1-2 （n-1） an+（n-1） an-1=0，又n-1≠0，则an+1-2an+an-1=0，即当n≥2时，an+1-an=an-an-1.因此数列{an}为等差数列。

　　总之，在高中数学数列部分学习的过程中，学生应该学会灵活运用函数法、画图法、构造数列法、递推法、归纳猜想法等多种方法对不同的数列问题进行解答。

　　参考文献：

　　[1] 李瑾。基于数学史的高中数学数列教学[J]。上海师范大学，2010（3）。

数列求和方法篇3

　　【关键词】直接求和法（公式法）；分组求和法；裂项相消求和法

　　一、直接求和法（公式法）

　　如果所给数列是等差数列或等比数列，那么它们的求和问题，可以直接利用等差或等比数列求和公式解决。

　　（1）等差数列的前n 项和公式： ；

　　（2）等比数列的前n 项和公式：①当q=1时，Sn=na1；②当q≠1时， 。

　　例1：求1，2，3，…，100 这样一个等差数列的和。

　　若数列的通项是若干项的代数和，可将其分成几部分来求。一般为{等差+等比}的形式出现时用到分组求和法。

　　例2：求数列 ，…的前n项和Sn。

　　分析：此数列的通项公式是 ，而数列{2n}是一个等差数列，数列 是一个等比数列，故采用分组求和法求解。

　　解： 。

　　小结：在求和时，一定要认真观察数列的通项公式，如果它能拆分成几项的和，而这些项分别构成等差数列或等比数列，那么我们就用此方法求和。

　　三、裂项相消法

　　裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的通项分解（裂项）如：

　　四、小结

数列求和方法篇4

　　【关键词】数列；求和；公式；方法

　　求数列的前n项和是高中数学的教学重点之一，也是高考常考察的知识点之一，有些数列比较有特点，我们可以总结一些方法来求和，也有些一些数列既非等差数列，又非等比数列，那么这些数列该怎样求和呢？下面举例说明一些特殊和不特殊的数列求和的常用方法。

　　一、公式法

　　如果是等差、等比数列可直接利用其求和公式求和，而有些特殊的常见数列则应记住其求和结果，以便于应用。如

　　本题中，如果不能确定x的值，那么用公式求和时还得注意对x进行分类讨论，即：x=1和x≠1两类。

　　这道例题是可以直接应用公式进行求和的，所以这种求和方法称之为“公式法”，在数列求和中能直接用公式求和的是最为简单的数列求和了。

　　二、分组求和法

　　有些数列，通过合理分组，从而改变原数列的形式，转换成新数列，再利用我们熟悉的等差、等比公式法求和。

　　分组求和要注意对数列的通项的研究，从通项入手发现数列求和时应该怎样分组才合适。

　　三、倒序相加法求和

　　这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（倒序），再把它与原数列相加，就可以得到n个。

　　四、裂项相消法求和

　　这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。通项分解（裂项）如：

　　这道例题是应用裂项相消的方法求和的，在高考中尤其是文科对这种求和方法的掌握要求是比较高的，从例题不难看出一般能用到此种方法求和的题型应该是分式型、入手时数列通项应该可以裂开的这种，掌握题型可以在更短的时间内选择有效的求和方法来节约时间提高解题效率。

　　五、错位相减法

　　这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an・bn}的前n项和，其中{an}、{bn}}分别是等差数列和等比数列。

　　错位相减法是以上所有数列求和方法中最容易出错也最复杂的一个，也是高考中对理科生常考察的一种方法，应用这种方法时要注意观察题型是否是{an・bn}型，且其中{an }、{bn}分别是等差数列和等比数列时才可用此种方法，在应用方法过程中还要注意当两式相减后最后一项的符号问题，这是最容易出错的地方。

　　六、归纳法

　　[例6]求数列1/1×2，1/2×3，1/3×4，…，1/n（n+1），…的前n项和。

　　解：

　　S1=a1=1/2，S2=S1+a2=2/3，S3=S2+a3=3/4，S4=S3+a4=4/5，…

数列求和方法篇5

　　摘 要：数列求和既是数列部分的基本内容也是重要内容， 同时还是高考考查的热点和重点，题型复杂多变， 技巧性也较强，以致成为数列的一个难点。因此，本文根据不同题型总结出一些常见题型及解法技巧，以帮助同学们提高数列求和的能力。

　　关键词：数列求和；解法。

　　【中图分类号】G623.5

　　数列求和既是数列部分的基本内容也是重要内容， 同时还是高考考查的热点和重点，题型复杂多变， 技巧性也较强，以致成为数列的一个难点。因此，本文根据不同题型总结出一些常见题型及解法技巧，以帮助同学们提高数列求和的能力。

　　若所给数列的通项是关于n的多项式，此时可采用公式法求和，利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法之一。常用求和公式列举如下：

　　等差数列求和公式： ，

　　等比数列求和公式：

　　自然数的方幂和：

　　二、错位相减法

　　若数列 的通项公式为 ，其中 ， 中有一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比q，然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法就是错位相减法。它是教材中推导等比数列的前n项和公式所用的方法。

　　变式训练：已知 ，当 时，求数列 的前n项和 。

　　有些数列求和的问题，可以对相应的数列的通项公式加以变形，将其写成两项的差，这样整个数列求和的各加数都按同样的方法裂成两项之差，其中每项的被减数一定是后面某项的减数，从而经过逐项相互抵消仅剩下有限项，可得出前 项和。它适用于 型（其中{ }是各项不为0的等差数列，c为常数）等。常见裂项公式有：

　　四、倒序相加法

　　将一个数列倒过来排列，再把它与原数列相加，就可以得到n个 ，Sn表示从第一项依次到第n项的和，然后又将Sn表示成第n项依次倒序到第一项的和，将所得两式相加，由此得到Sn的一种求和方法。这是在推导等差数列的前n项和公式时所用的方法。

　　例3设 ，利用课本中推导等差数列的前 项和的公式的方法，可求得 的值为： 。

　　解：因为f（x）= ，f（1—x）=

　　f（x）+f（1—x）= 。

　　设S=f（—5）+f（—4）+…+f（6），则S=f（6）+f（5）+…+f（—5）

　　2S=（f（6）+f（—5））+（f（5）+f（—4））+…+（f（—5）+…f（6））=6

　　S=f（—5）+f（—4）+…+f（0）+…+f（6）=3 。

　　五、分组求和法

　　某些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当分组，能分为几个等差、等比或常见的数列的和、差，则对分组后的数列分别求和，再将其合并即可求出原数列的和。

　　1、拆项求和法。

　　例4求数列{n（n+1）（2n+1）}的前n项和。

　　解：设

　　=

　　将其每一项拆开再重新组合得：

　　Sn =

　　2、并项求和法

　　例5 求 。

　　解： …

　　… 。

　　六、叠加法

　　给出数列{ }的递推式和初始值，若递推式可以巧妙地转化为 型，可以考虑利用叠加法求和。

　　例 6 数列 的前 项和为 ，已知 ，求

　　解：由 得： ，

　　即 ，

　　，对 成立。

　　由 ， ，…，

　　累加得： ，又 ，

　　所以 ，当 时，也成立。

　　七、综合求和法

　　根据数列的通项进行分析，找出其特征，然后再利用其所揭示的规律来求数列的前n项和，它通常集公式、错位、裂项、分组求和于一体，是一个解决综合性数列求和的重要途径。

　　例7 已知数列{an}： 的值。

　　= =

　　例8 已知数列 的首项 ， ， …。

　　（Ⅰ）证明：数列 是等比数列；

　　（Ⅱ）数列 的前 项和 。

　　解：（Ⅰ） ， ，

　　，又 ， ，

　　数列 是以为 首项， 为公比的等比数列。

　　（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，即 ， 。

　　设 … ， ①

　　则 … ，②

　　由① ②得

　　… ，

　　。又 … 。

数列求和方法篇6

　　已知数列{an}的类型求数列{an}的通项公式

　　已知数列是等差数列，可根据等差数列通项公式an=a1+(n-1)d或an=am+(n-m)d进行求解。已知数列是等比数列，可根据等比数列通项公式an=a1qn-1或an=amqn-m进行求解。

　　例1：已知数列{an}是等差数列， 15，45 ，求数列{an}的通项公式。

　　解：15

　　由 ⑴、⑵ 得：

　　二、项和关系

　　类型一、已知数列的前n项和sn求数列求数列{an}的通项公式。

　　若已知数列的前n项和sn 可根据 求{an}的通项公式。

　　例2：已知数列{an}的前n项和sn =3n2-2n ，求数列{an}的通项公式

　　解：当n=1时，a1=s1=3×12-2×1=1，

　　当n2时，an=sn-sn-1=3n2-2n-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5

　　当n=1时，满足an=6n-5

　　所以，an=6n-5（n≥1）

　　说明：根据求出an 后，还需检验a1是否适合，若适合，则合并起来写成，若不适合，则写成。

　　类型二：消去或消去

　　例3、（重庆）已知各项均为正数的数列{}的前n项和Sn满足Sn>1，且。求{}的通项公式；

　　解：由a1=S1=（a1+1）（a1+2），解得a1=1或a1=2.由假设a1=S1>1，因此a1=2.

　　又由an+1=S n+1－ S n =（a n+1+1）（a n+1+2）－（a n+1）（a n+2）

　　得an+1－ an－3＝0或an+1＝－an

　　因an＞0，故an+1＝－an不成立，舍去。

　　因此an+1－ an=3.从而｛an｝是公差为3，首项为2的等差数列，

　　故｛an｝的通项为an＝3n－1.

　　三、累加、累乘求通项

　　类型一：这种类型求an的方法采用累加法。

　　其中 。

　　例3：已知数列{an}满足： ，求数列{an}的通项公式。

　　解：由题意得：

　　类型二：这种类型求an的方法采用累乘法。

　　其中

　　例4：已知数列{an}满足： ，求数列{an}的通项公式。

　　四、待定系数法转化为等比、等差数列

　　类型一：

　　这类题型一般利用待定系数法构造等比数列，令，，与已知递推式比较，得，从而转化为是公比为p的等比数列

　　例5、（全国卷1）已知数列{an}中a1＝2，an＋1＝（）（an＋2），n＝1，2，3…。求{an}的通项公式；

　　解：由题设：

　　，

　　。

　　所以，数列是首项为，公比为的等比数列，

　　即an的通项公式为，n=1，2，3……。

　　类型二：已知求通项

　　当p≠q时

　　思路一：两边同时除以转化为类型一，然后再用待定系数法构造成等比数列求解。

　　思路二：直接利用待定系数法构造等比数列，即令与已知递推式比较解得，从而转化为是公比为p的等比数列

　　当p=q时

　　思路：两边同时除以转化为等差数列，即，从而转化为是公差为的等差数列。

　　例6：（全国卷2）设数列的前项的和，求通项公式

　　解：当n=1时，得

　　当n≥2时，

　　即

　　法一：两边同时除以得，

　　所以是以2为首项、2为公比的等比数列

　　法二：构造新的等比数列展开

　　与比较得

　　是以4为首项、4为公比的等比数列

　　类型三：已知，(p，q均为常数)

　　例7：（福建）已知数列满足，求通项。

　　则与已知等式比较得

　　取

　　所以是以1为首项、1为公比的等比数列

　　另解：①

　　②

　　①- ②得

数列求和方法篇7

　　例：已知数列{an}的通项公式an=2n-1.求证：1a1+1a2+…+1an≤2n－1对任意的n∈N都成立。

　　策略一放缩法

　　【思路点拨】本题是一个典型的求和型数列不等式，放缩法是证明这类不等式常用方法之一。利用放缩法证明求和型数列不等式问题时，通常有两种方法，一是根据不等式的结构特征，抓住数列的项，先对通项进行放缩后求和；二是先对数列求和，后放缩。

　　证明：当n=1时，左边=1，右边=1，不等式显然成立（等号成立）。

　　1an=12n－1=222n－1=22n－1+2n－1

　　故由1a1=1，1a2

　　1a1+1a2+…+1an≤1+3－1+5－3＋…+2n－1－2n－3=2n－1

　　从而问题得证。

　　【点评】本题证明的关键是对通项进行恰当放缩，即当n≥2时，将1an=12n－1放缩为1an

　　策略二数学归纳法

　　【思路点拨】数学归纳法也是证明求和型数列不等式常用方法，其关键在于证明当n=k+1时原不等式成立，这一步的证明，综合性强，往往是证明的精华部分，要细心观察，小心求证。

　　证明：①当n=1时，左边=1=右边，等号成立。

　　②假设当n≥k时，不等式成立，即1a1+1a2+…+1ak≤2k－1成立。

　　则当n=k+1时， 1a1+1a2+…+1ak+1ak+1≤2k－1+1ak+1=2k－1+12k+1=2k－1+222k+1

　　即1a1+1a2+…+1ak+1ak+1≤2(k+1)－1

　　故当n=k+1时，不等式也成立。

　　综合①，②知原不等式成立。

　　【点评】本题是与正整数相关的求和型数列不等式的证明问题，故可顺理成章地考虑利用数学归纳法来证明，证题思路清晰，方向明确。但在证明 n=k+1时不等式成立，需要进行适当的放缩，而这一步恰恰是运用本法证明的关键所在，需要认真思考。

　　策略三构造数列法

　　【思路点拨】对求和型数列不等式的证明，常常可以考虑把左右两端看作是两个不同数列的和，故可先构造两个新数列，然后再证明这两个数列的前n项和的不等关系即可。

　　证明：设数列{1an}的前n项和为Sn，即Sn=1a1+1a2+1a3＋…+1an，设数列{bn}的前n项和为Tn，设Tn=2n－1，从而问题转化为证明：Sn≤Tn。

　　则当n=1时，S1=T1.也即1a1=b1

　　当n≥2时，bn=Tn－Tn－1=2n－1－2n－3，1an=12n－1

　　而1an－bn=12n－1－2n－1+2n－3

　　=1－(2n－1)+4n2－8n+32n－1

　　=(2n－2)2－1－(2n－2)2n－1

　　1an

　　将1a1=b1，1a2

　　故原不等式成立。

　　【点评】本法的关键是根据求和型数列不等式的结构特征构造了两个新数列，从而将证明求和型数列不等式问题转化为比较两个新数列的通项大小问题，然后通过累加法得到两数列的和，从而证得所要结果，构思巧妙，证法简单明了、易懂，从证明过程看，大大减轻了证明的难度。

　　策略四分析法

　　【思路点拨】分析法也是证明求和型数列不等式的常用方法。分析法证题的理论依据是执果索因，即寻找出结论成立的充分条件或是充要条件。其基本步骤是：要证……，只需证……，只需证……。

数列求和方法篇8

　　【关键词】数列 通项公式 拓展思维

　　【中图分类号】G 【文献标识码】A

　　【文章编号】0450-9889（2015）12B-0065-02

　　在高中数学的学习中，数列的知识在必修五整本中虽然所占比重不多，但是它却具有重要的作用，具有实际应用的价值。不管是现阶段高中生期中、期末的考试，还是公务员考试、事业编考试，数列这一题型都常常出现。所以在高中数学教学中，数列教学成了我们必不可少的重要内容，数列教学中所涉及的问题也成为我们要研究的对象。

　　一、夯实基础，掌握基础概念

　　在数列学习中，首先应该把基本概念理解并记住，然后才能掌握其核心内容。只有把基本的知识把握好，才能进行更深入的学习，打好基础才能走得更远。对于数列学习也是这样，那么如何把握数列的基本概念呢？数列的基本概念就是它的定义，它的核心是通项与求和公式及其运用。接下来我们通过几个实例来探究数列教学中基础概念的学习。

　　比如在苏教版高中数学《数列》第一节等差数列的学习中，课本上已经把等差数列的通项公式及前n项和公式明确告诉我们了，等差数列的通项公式为an=a1+（n-1）×d，等差数列的前n项和公式为，所以遇到求通项公式或求和的题目时，我们直接套用公式即可。比如：

　　例1 已知{an}为等差数列，Sn为其前n项的和，（n∈ N+），若a3=6，S20=20，那么S10=（ ）。

　　这是一个基础的题目，根据题目所给的数据带入上面的两个公式，很快就能算出a1=20，d=-2，最后求出S10=110.又比如：

　　例2 等差数列{an}中，S10=120，那么a1+a10=（ ）。

　　这也是一道基础的题目，根据公式，数列和=（首项+末项）×项数÷2，即，把题目所提供的数字带入上式，直接可以求出a1+a10=24.这种类型的题目只要把公式记牢，然后直接套用就可以了。

　　所以学习数列时一定要把公式、基本概念弄明白，这样才能迅速地求出答案。万变不离其宗，只要掌握好基本概念，打好基础，就能解决更深奥的问题，提高知识能力。

　　二、熟练掌握通项公式和方法

　　有很多题目类型是求数列的通项公式的，这种类型就需要我们把握解题方法，正确使用解题方法，才能解决问题。在数列这一系列问题中，采用比较多的方法就是累加法或累乘法求数列通项公式，根据Sn和an之间的数量关系或者递推关系求通项公式。下面通过两个例题来观察解题方法。

　　在苏教版高中数学《数列》的等差数列学习中，我们可以运用累加法来进行计算，通过累加法会使数列问题变得容易。比如：

　　例3 数列{an}中，a1=2，an+1=an+n×d（d是常数，n为1，2，3…），且a1，a2，a3成公比不为1的等比数列。求d的值以及{an}的通项公式。

　　根据题意，我们不难求出d的值为2，但是{an}的通项公式就需要运用累加的方法来进行计算。在n≥2的情况下，有

　　a2-a1=d，a3-a2=2d，a4-a3=3d

　　以此类推得

　　an-an-1=（n-1）d

　　在等式的左边相加得到

　　an-a1=[1+2+3+…+（n-1）]d=n（n-1）÷2×d

　　即an=n2-n+2

　　当n=1的时，a1=2也适用于上式，那它的通项公式就是an=n2-n+2.这就是运用累加法求得数列的通项公式。值得注意的一点是，在求出数列{an}的通项公式时，别忘了验证当n=1的情况，有时候n=1不适合通项公式，这就需要我们把两种情况分别列出来，保证答案的准确性。对于等比数列通项公式的求法，则需要借助累乘法，不能用累加法。但基本原理与累加法大同小异，学会用累乘法解决等比数列的问题，会降低解题难度。

　　所以在解决一些比较复杂的等差数列或等比数列问题时，我们一定要把握好方法，合理运用累加法或累乘法，这样做能取得事半功倍的效果，让难懂的数列知识变得简单，避免学生对数列题产生枯燥厌烦的心理。

　　三、利用数列求和，拓展思维

　　学习数列知识时，进行数列求和过程就是我们拓展思路、活跃思维、提高数学能力的过程，因为相比于其他数学知识点，数列的难度还是较大的。要解决数列问题，不仅需要熟练掌握基本概念，而且还需要掌握合理的方法。解决数列问题也是考验能力的一种方法，在解题的过程中提高了能力、增强了数学思维。下面笔者通过实例来研究在解决数列求和的过程中培养的数学能力的方法。

　　比如在苏教版高中数学《数列》这一章的学习中，出现一类既有等差数列，又有等比数列，而且是“等差乘以等比”类型的题目，对于这种有深度的问题，我们单单采用套用公式的做法是不能解决的。为了顺利便捷地解决这类问题，我们探索出了一种“错位相减”的方法。比如：

　　例4 已知{an}是等差数列，其前n项和是Sn，{bn}是等比数列，且a1=b2=2，a4+b4=27，S4-b4=10.

　　（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；

　　（2）记Tn=anb1+an-1b2+…+a1bn（n∈ N+），证明Tn+12=-2an+10bn（n∈ N+）。

　　第一问很简单，只需要根据等差数列和等比数列的性质就可以求出。第二问比较复杂，仔细观察发现，要求Tn，其实也就是求等差乘以等比数列的前n项和。对这种类型，我们可以采取错位相减法。先把等差数列的前n项和与等比数列的前n项和列出来，然后在式子的两边分别乘以等比数列的公比，最后错一位，两个式子相减就可以得出答案。当然这种错位相减法需要大量的运算，对于一些没有耐性的同学来说，会有一定的难度。对于这一部分同学来说，可以选择另一种方法，用裂项相消的方法求和。所以在解决数列求和这一类型的数学题目时，有多种解题方法，同学们应该选择适合自己的一种方法来做，并熟练掌握，这样才能不断提高学习和解决问题的能力。

　　在数列求和这一问题的探索中，同学们可以在学习中多做一些有关数列求和的问题的题目，这样做既能活跃思维，又能提高学习能力。

　　四、结合函数，提高数列问题的解题能力

　　我们知道，其实数列也是一种函数，只不过它的定义域是在正整数集，是一种特殊性质的函数。既然数列是一种函数，那么它就具有函数的性质。这给命题者一种方向，就是把数列与函数相结合来命题，考查学生综合运用知识的能力。下面主要通过具体的事例来探索如何利用数列与函数相结合的关系来求解相关问题。

　　比如在高中数学苏教版《数列》这一章的学习中，我们遇到这样的习题。

　　例5 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=a，an+1=Sn+3n，（n∈ N+）。

　　（1）当bn=Sn-3n，求数列{bn}通项公式；

　　（2）若an+1≥an，（n∈ N+），求a的取值范围。

　　在这一题中，第一问很简单，把an+1=Sn+3n带入bn=Sn-3n，很快就能求出答案。现在观察第二题，从题意我们可以看出，an+1≥an，所以这是一个单调递增的数列，那我们可以列关系式an+1-an≥0是恒成立的，因此从这个等式中得出a的取值范围。从这一题型看出，把数列与函数的单调性相结合，就可求出取值范围。这就要求同学们学会灵活运用公式。当遇到这种类型题时，要想到函数的单调性，而不是运用什么“错位相减法”“裂项相消法”等来解题。又比如在练习时，同学们会遇到数列的最值问题，其实要解决这种题，我们也可以运用函数的知识来解决。我们可以把等差数列当作未知数是n的一次函数，把等比数列当作未知数是n的指数函数，这样我们在求极大值或极小值时，运用函数图象就容易得到答案。

　　所以在运用函数进行解答数列问题时，需要同学们灵活运用，拓展思路，在不断训练中，提高学生们的解题能力，拓展同学们数学思维，提高学生们的推理、计算的逻辑能力，同时不断提高学习效率和学习成绩。

　　数列是高中数学知识中非常重要的知识点，它还可以与三角函数、曲线方程等相交叉。命题者很喜欢把它们放在一起来考查学生们的综合能力，所以数列知识的学习对每一位同学都有重要的意义。因此探索数列问题是必不可少的，它的研究有着极大的教学价值。教师要积极探索，尽可能详细、简单的地把数列知识点传授给学生。

　　【参考文献】

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